基础知识
陈述
命题是指任何要么为真、要么为假，但不能同时为真又为假的句子。
以下句子均为陈述句:
直角三角形是拥有一个直角(真命题)的三角形。在二进制中，一加一等于十一(假命题)。
以下句子并非陈述句:
解出这道AIME题。(指令)
你如何解决这道AMC 10题目？(一个问题)
AMC 10 A 测试比 AMC 10 B 测试更难。(个人观点)
否定
句子“AMC 10测试包含25道题”是一个陈述；该陈述的否定是“AMC 10测试不包含25道题”。
真命题的否定为假，假命题的否定为真。
| 陈述 | 否定 |
| 全部都做 | 有些不做(并非全部都做) |
| 有些做 | 全都不做(全部都不做) |
写出每个命题的否定:
月球不是恒星。 \( \Rightarrow \; \) 月球是恒星。
月球是恒星。 \( \Rightarrow \; \) 月球不是恒星。
蜘蛛没有六条腿。 \( \; \Rightarrow \; \) 蜘蛛有六条腿。
有些兔子尾巴短。 \( \; \Rightarrow \; \) 没有兔子尾巴短。
有些兔子尾巴不短。 \( \Rightarrow \; \) 所有兔子尾巴都短。
没有兔子尾巴短。 \( \; \Rightarrow \; \) 有些兔子尾巴短。
逆命题、否命题与逆否命题
| 原命题 | 如果 \( p \) ，那么 \( q \) 。 |
| 逆命题 | 如果 \( q \) ，那么 \( p \) 。 |
| 否命题 | 如果非p，那么非q。 |
| 逆否命题 | 如果非 \( q \) ，那么非 \( p \) 。 |
| 原命题 | 如果我住在波士顿，那么我就住在美国。 |
| 逆命题 | 如果我住在美国，那么我就住在波士顿。 |
| 否命题 | 如果我不住在波士顿，那么我就不住在美国。 |
| 逆否命题 | 如果我不住在美国，那么我就不住在波士顿。 |
逻辑等价矩形
逻辑等价命题对(对角相对):
命题与其逆否命题
同一命题的逆命题与对换命题
非逻辑等价命题对(相邻):命题与其逆命题
命题与其对换命题
同一命题的对换命题与逆否命题
同一命题的逆命题与逆否命题
演绎推理
演绎推理包含以下三个步骤:
(1). 提出一般性陈述(大前提)。
(2). 提出特殊性陈述(小前提)。
(3). 得出结论。
欧拉图
例1. 为下列问题绘制欧拉图:
(1). 大前提:所有猫都是动物
(2). 小前提是:杰瑞是一只猫。
(3). 结论是:杰瑞是一种动物。
解答:
绘制图表的步骤:
(1). 画一个大圆表示第一个前提。这是“动物”的区域。
(2). 画第二个圆表示“所有猫”。因为所有猫都是
动物，第二个圆应放在第一个大圆内部。
(3). 把杰瑞放在它应属的位置。第二个前提指出
杰瑞是一只猫。把杰瑞放在标有“猫”的区域内。
例2. 设 \( S \) 为命题:
“若整数 \( n \) 的各位数字之和能被8整除，则 \( n \) 能被8整除”。
使 \( S \) 为假的一个 \( n \) 值是
(A) 80 (B) 53 (C) 88 (D) 152 (E) 以上皆非 解答:(B)。
若存在整数 \( n \) ，其各位数字之和能被8整除，但 \( n \) 本身不能被8整除，则该命题为假。数字53满足这些性质。
例3. 已知萨姆不是数学俱乐部的成员，那么根据下列哪条陈述可以确定萨姆是否在科学俱乐部？
(A) 任何在数学俱乐部的人都不在科学俱乐部。
(B)没有人同时属于数学俱乐部和科学俱乐部。
(C)任何不属于数学俱乐部的人也不属于科学俱乐部。
(D)数学俱乐部的所有成员都在科学俱乐部。
(E)有些不属于数学俱乐部的人也不属于科学俱乐部。
解答:(C)。
(A)任何在数学俱乐部的人都不在科学俱乐部。
这一条不适用于Sam，因为他不在数学俱乐部。
(B)没有人同时属于数学俱乐部和科学俱乐部。
这一条不适用于Sam，因为他不在数学俱乐部。
(C)任何不属于数学俱乐部的人也不属于科学俱乐部。
该陈述直接适用于Sam。由于他不在数学俱乐部，因此他也不在科学俱乐部。(D)数学俱乐部的所有成员都在科学俱乐部。这一条不适用于Sam，因为他不在数学俱乐部。(E)有些不属于数学俱乐部的人也不属于科学俱乐部。“有些人”可能包括Sam，也可能不包括。因此，根据这一陈述，我们无法确定Sam是否属于科学俱乐部。例4.(1968 AMC)假设对于某所学校，以下命题为真:I:有些学生不诚实。II:所有兄弟会成员都诚实。一个必然的结论是:(A)有些学生是兄弟会成员。(B)有些兄弟会成员不是学生(C)有些学生不是兄弟会成员(D)没有兄弟会成员是学生
(E)没有学生是兄弟会成员。
解答:(C)。
方法1(官方解答):
首先，陈述(A)和(B)可能无效，因为它们各自要求所有兄弟会成员的集合非空，而假设I或II并未要求这一点。再者，假设I和II允许所有兄弟会成员的集合成为所有学生集合的一个非空子集，但(D)和(E)都不允许这种情况，因此可能无效。现在，选项(C)在假设下有效，因为根据I，存在不诚实的学生，而根据II，他们不可能是兄弟会成员。
方法2(我们的解答):
我们使用演绎推理的三个步骤。
(1). 提出一个一般性陈述(大前提)。
(2). 提出一个特殊性陈述(小前提)。
(3). 得出结论。
注意，“所有兄弟会成员都是诚实的”这一陈述的逆否命题是“如果你不诚实，你就不是兄弟会成员”。
(1). 如果人们不诚实，他们就不是兄弟会成员。
(2). 有些学生不是诚实的人。
(3). 有些学生不是兄弟会成员。
例5. 如果“这家商店里的所有电脑都在打折”这一陈述为假。
那么下列哪一项陈述必定为真？
I. 这家商店里的所有电脑都以非折扣价出售。
II. 这家商店里有一些电脑不在打折。
III. 这家商店里没有一台电脑在打折。
IV. 并非这家商店里的所有电脑都在打折。
(A) 仅II (B) 仅IV (C) 仅I和III
(D) II和IV (E) I、II和IV
解答:(D)。
只有 II 和 IV 是对给定命题的否定。
例6. 一个图形是等角四边形当且仅当它是
(D) 正方形 (E) 梯形
解答:(A)。
等角四边形具有4个全等的角，因此它们都是 \( {90}^{ \circ } \) 。于是所有等角四边形都是矩形。它们并非都是正方形，因为四边形的邻边不一定相等。反之，每个矩形都是具有4条边、等角且对边平行的图形。因此，一个图形是等角四边形当且仅当它是矩形。
例7. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题:
如果 \( A{B}^{2} + B{C}^{2} = C{A}^{2} \) ，那么三角形 \( {ABC} \) 是直角三角形。
解答:
命题:如果 \( A{B}^{2} + B{C}^{2} = C{A}^{2} \) ，那么三角形 \( {ABC} \) 是直角三角形。(true)
逆命题:如果三角形 \( {ABC} \) 是直角三角形，那么 \( A{B}^{2} + B{C}^{2} = C{A}^{2} \) 。(true)
否命题:如果 \( A{B}^{2} + B{C}^{2} \neq C{A}^{2} \) ，那么三角形 \( {ABC} \) 不是直角三角形。(true)
逆否命题:如果三角形 \( {ABC} \) 不是直角三角形，那么 \( A{B}^{2} + B{C}^{2} \neq C{A}^{2} \) (真)。
解题技巧
1. 绘制欧拉图
例8. (1967 AMC) 给定两个假设:
I. 某些Mems并非Ens，且II. 没有Ens是Vees。
如果“some”表示“至少一个”，我们可以得出:
(A) 某些Mems不是Vees (B) 某些Vees不是Mems
(C) 没有Mem是Vee (D) 有些Mem是Vee
(E) 既无法从给定陈述中推出(A)，也无法推出(B)、(C)或(D)。
解答:(E)。
方法1(官方解法):
分别用 \( M, N \) 和 \( V \) 表示Mems、Ens和Vees的集合。假设I和II仅告诉我们 \( M \) 中至少有一个成员不在 \( N \) 中，且 \( N \) 和 \( V \) 是
互不相交(即没有共同元素)。假设集合 \( M \) 与 \( V \) 完全相同，那么陈述(A)、(B)、(C)将为假。再假设集合 \( M \) 与 \( V \) 互不相交，那么陈述(D)将为假。因此，从给定假设无法推出陈述(A)、(B)、(C)、(D)中的任何一个。
方法二(我们的解决方案):
我们根据以下假设绘制欧拉图(Euler diagram):I. 某些Mems不是Ens；II. 没有Ens是Vees。
在情况2中，交集部分同时否定了两个结论:(A) 某些Mems不是Vees，以及(B) 某些Vees不是Mems
在情况4中，交集部分否定了结论(C)“没有Mem是Vee”；情况1或3否定了结论(D)“某些Mem是Vee”。
例9.(2000年AMC 10)如果所有鳄鱼(alligators)都是凶猛生物(ferocious creatures)，且某些爬行怪物(creepy crawlers)是鳄鱼，那么下列哪些陈述必定为真？I. 所有鳄鱼都是爬行怪物。II. 某些凶猛生物是爬行怪物。III. 某些鳄鱼不是爬行怪物。
(A) 仅I (B) 仅II (C) 仅III (D) 仅II和III
(E) 以上皆非
解答:(B)。
方法一(官方解答):
由条件可知，某些爬虫(creepy crawlers)是凶猛的(因为其中有些是短吻鳄)。因此，存在一些凶猛的生物是爬虫，从而II必然成立。下图表明，唯一可得的结论是带点区域中存在一种动物。因此，在给定条件下，I和III均不成立。
方法二(我们的解答):
我们先画一个大圆表示第一个前提，这是“凶猛生物”的区域。
接着画第二个圆表示“所有短吻鳄”。由于所有短吻鳄都是凶猛生物，第二个圆应完全位于第一个大圆内部。将“某些爬虫是短吻鳄”放在其应处的位置。
第二个前提指出某些爬虫是短吻鳄，因此也有某些不是。我们画第三个圆表示这些爬虫。此时有两种情况:
情况1:第三个圆完全位于凶猛生物圆内，但仅部分位于短吻鳄圆内。
情况2:第三个圆部分位于凶猛生物圆内，同时也部分位于短吻鳄圆内。
情况1否定了结论I:所有短吻鳄都是爬虫。
情况1和情况2都接受结论II:某些凶猛生物是爬虫。
情况1或情况2的交集部分否定了结论III:某些短吻鳄不是爬虫。
例10.(2007 AMC 10 B)在某片土地上，所有Arogs都是Brafs，所有Crups
都是Brafs，所有Dramps都是Arogs，且所有Crups都是Dramps。下列
哪一陈述可由这些事实推出？
(A) 所有Dramps都是Brafs且都是Crups。
(B) 所有Brafs都是Crups，也都是Dramps。
(C) 所有Arogs都是Crups，也都是Dramps。
(D) 所有Crups都是Arogs，也都是Brafs。
(E) 所有Arogs都是Dramps，且部分Arogs可能不是Crups。
解答:(D)。
方法1(官方解答):
设 \( A, B, C \) 和 \( D \) 分别表示关于这片土地上一个人的以下陈述。
\( A \) :是Arog。 \( B \) :是Braf。 \( C \) :是Crup。 \( D \) :是Dramp。
于是题目第一句话的陈述可表示为:
\( A \Rightarrow B;C \Rightarrow B;D \Rightarrow A \) 和 \( C \Rightarrow D \) 。
我们最多只能得出
\( C \Rightarrow D \Rightarrow A \Rightarrow B \) .
因此，在列出的陈述中，我们唯一确定无疑为真的是:Crups既是Arogs也是Brafs。
方法2(我们的解答):
这些陈述可以重新整理为
如下:
所有Crups都是Dramps，
所有Dramps都是Arogs，并且
所有Arogs都是Brafs，
根据欧拉图(Euler Diagram)，唯一成立的陈述是
我们确信为真的是
Crups既是Arogs又是Brafs。
(2). 找出两条相互矛盾的陈述
首先找出相互矛盾的两个陈述，其中必有一假；再审视剩余陈述。
例11。有三个盒子A、B和C，其中两个盒子装有弹珠，一个盒子装有糖果。每个盒子上都贴着一张纸条。
A:这个盒子里没有糖果。
B:这个盒子里装着糖果。
C. 盒子B中有弹珠。
以上陈述中只有一条为真，其余均为假。哪个盒子里有糖果？
答案:A盒。
首先找出相互矛盾的两个陈述，其中必有一真，剩下的陈述则为假。
陈述 \( \mathrm{B} \) 与陈述 \( \mathrm{C} \) 是两个互相矛盾的陈述。我们确信真陈述就在这两者之中，尽管我们尚不确定是哪一个。因此我们得出结论:陈述A为假。于是盒子A里装的是糖果。
示例12。在Alex、Bob和Charles三人中，有一人打破了窗户。以下陈述中只有一句为真，其余为假。谁打破了窗户？I:Alex:是Bob干的。
II:鲍勃:我没干。
III:查尔斯:不是我。
解答:查尔斯。
首先找出互相矛盾的两句话，其中必有一句为真。剩下的一句则为假。
陈述I与陈述II互相矛盾，我们确定这两句中必有一真，但尚不知哪一句。因此可推出陈述III为假，所以查尔斯打破了窗户。
例13:在亚历克斯、鲍勃、查尔斯和丹四人中，有一人打破了窗户。以下四句话中只有一句是假，其余为真。谁打破了窗户？
I:亚历克斯:我没干。
II:鲍勃:我没干。
III:查尔斯:是鲍勃干的。
IV:丹:是查尔斯干的。
解答:查尔斯。
首先找出互相矛盾的两句话，其中必有一句为假。其余陈述为真。
陈述II与陈述III互相矛盾，我们确定这两句中必有一假，但尚不知哪一句。因此可推出陈述IV为真，所以查尔斯打破了窗户。
例14:一个密封的信封里有一张卡片，上面写着一个数字。以下四句话中有三句为真，一句为假。
I 该数字是1
II 该数字是2
III 该数字不是3
IV 该数字不是4
以下哪一项必定正确？
(A) I为假。(B) II为真。(C) II为假。(D) III为假。(E) IV为真。解答:(E)。
首先找出相互矛盾的两个陈述。在这两个陈述中必有一假。其余陈述为真。
陈述I与陈述II相互矛盾。我们确定假陈述必为二者之一，尽管尚不知具体是哪一个。因此可推出陈述III与陈述IV必为真。唯一选项是(E)。
例15. 宝藏藏在标有A、B、C、D、E的5扇门之一后。每扇门上的陈述如下。只有一条陈述为真，其余为假。宝藏在哪扇门后？
I: A: 宝藏在门E后。
II: B: 宝藏在门D或门E后。
III: C: 宝藏不在我后面。
IV: D: 宝藏不在门E后。
V: E: 宝藏在门D后。
解答:C。
首先找出相互矛盾的两个陈述。在这两个陈述中必有一真。其余陈述为假。
陈述I与陈述IV相互矛盾。我们确定真陈述必为二者之一，尽管尚不知具体是哪一个。因此可推出陈述III为假。故宝藏在门C后。
例16. 农场里有两类动物:狗和狐狸。狗的陈述恒真，狐狸的陈述恒假。四只动物Bella、Charlie、Daisy和Edward作出如下陈述。Bella:“Edward和我属于同一物种。” Charlie:“Daisy不是狗。” Daisy:“Charlie不是狗。”
爱德华:“我们四个当中，只有两条是狗。”
这四只动物中有多少只是狐狸？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (E) 4
解答:(C)。
查理和黛西的两句话互相矛盾，因此其中必有一真。
假设查理是狗，那么黛西就是狐狸。
如果贝拉的陈述为真，则贝拉是狗，爱德华也是狗，于是得到3条狗和1只狐狸。由于爱德华是狗，“只有两条是狗”也必须为真，但我们已有3条狗，因此贝拉的陈述为假。于是爱德华和贝拉并非同类，故爱德华是狗，爱德华的陈述为真。此时共有2条狗和2只狐狸。
若黛西是狗，类似的推理同样成立。
综上，共有2只狐狸:黛西和贝拉，或查理和贝拉。
(3). 找出两句彼此一致的陈述
首先找出两句彼此一致的陈述。若只有一句为真，则这两句必须都为假；若只有一句为假，则这两句必须都为真。
例17. 三颗弹珠 \( A, B \) 、 \( C \) 各被涂成三种颜色之一:一颗白色、一颗红色、一颗蓝色。以下三句中恰有一句为真:(1) \( A \) 是红色。(2) \( B \) 是蓝色。(3) \( C \) 不是红色。问弹珠 \( B \) 是什么颜色？
解答: \( B \) 是蓝色。
若(1)为真，则(3)也为真，于是这两句彼此一致。然而已知只有一句为真，因此必为(2)，于是 \( B \) 是蓝色。
例18. 三颗弹珠 \( A, B \) 、 \( C \) 各被涂成三种颜色之一:一颗白色、一颗红色、一颗蓝色。以下三句中恰有一句为真:
(1) A是红色。(2) B不是红色。(3) \( \mathrm{C} \) 不是蓝色。
弹珠 \( A \) 是什么颜色？
解答:A是蓝色。
若1)为真，则2)也为真，因此这两条陈述一致。然而已知只有一条陈述为真，故必为(3)。由于(2)为假， \( B \) 为红色。 \( C \) 不是蓝色，因此必为白色。于是可知 \( A \) 必为蓝色。
例19. Alex、Bob和Charles在数学竞赛中获得前三名。这些陈述中恰有一条为假。他们各得第几名？
I:Alex:我得了第一名。
II:Bob:我没有得第一名。
III:Charles:我得了第二名。
解答:Alex: \( {1}^{\text{st }} \) ，Bob: \( {2}^{\text{nd }} \) ，Charles: \( {3}^{\text{rd }} \) 。
首先找出两条一致的陈述。由于只有一条陈述为假，这两条陈述必为真。
陈述I与陈述II一致。我们确定这两条陈述均为真，因此Alex得了第一名。于是陈述III为假，故Charles未得第二名。于是Bob得第二名，Charles得第三名。
例20. 一个密封的信封里有一张卡片，上面写着一个数字。下列四条陈述中三条为真，一条为假。
I. 该数字是1。
II. 该数字不是2。
III. 该数字是3。
IV. 该数字不是4。
以下哪一项必然正确？
(A) I为真。(B) I为假。(C) IV为真。(D) III为真。(E) II为假 解答:(C)。
方法1:我们先找出两条彼此一致的陈述。在本例中，II与IV并不矛盾，因此我们知道I或III中必有一条为假，于是II与IV必为真。从五个选项中可见，(C)为正确答案。
方法2:我们先找出两条互相矛盾的陈述。在本例中，I与III矛盾，因此我们知道I或III中必有一条为假，于是II与IV必为真。从五个选项中可见，(C)为正确答案。
(4). 找出该命题的逆否命题
例21. 下面每张卡片一面是数字，另一面是字母。要证明以下陈述对这些卡片成立，需要翻转多少张卡片:“若一张卡片的一面是元音字母，则另一面是质数？” (A) 5
解答:(D)。
本节介绍一种两步法，可用于解决所有类似问题。
步骤1. 先验证原命题:
为验证该命题:
若一张卡片的一面是元音字母，则另一面是质数
需翻转所有带元音字母的卡片，因此需翻转卡片I。
步骤2. 再验证该命题的逆否命题:
若一张卡片的一面不是质数，则另一面不是元音字母。
此时需验证所有不带质数的卡片(图中标记为1和4的卡片)。
例22. 下面每张卡片一面是数字，另一面是字母。要证明以下陈述对这些卡片成立，需要翻转多少张卡片:“若一张卡片的一面是元音字母，则另一面是偶数？”
解答:(B)。
为验证该陈述:
如果一张卡片的一面是元音字母，那么另一面就是质数
我们需要翻开任何一面是元音字母的卡片。因此我们需要翻开卡片A。我们还需要验证其逆否命题:如果一张卡片的一面不是偶数，那么它的另一面就不是元音字母。
在这种情况下，我们需要验证所有带有奇数的卡片(标记为3和5的卡片)。
例23. 下列哪一项与“如果保罗是正确的，那么”等价
昆西错了”？
“保罗是正确的，或者昆西是错误的。”
(B)“如果昆西错了，那么保罗就是对的。”
(C)“如果保罗是对的，那么昆西也是对的。”
(D)“如果昆西是对的，那么 \( \mathrm{P} \) 就错了。”
(E) “如果昆西是正确的，那么 \( \mathrm{P} \) 为真。”
答案:(D)。
该命题的逆否命题
“如果保罗是对的，那么昆西就错了”
是
“如果昆西是对的，那么 \( \mathrm{P} \) 就是错的”，所以答案是(D)。
例24. 下列哪些陈述与“若阿尔法星上的粉色大象有紫色眼睛，则贝塔星上的野猪没有长鼻子”等价？
I. 若贝塔星上的野猪有长鼻子，则阿尔法星上的粉色大象有紫色眼睛。
II. 若阿尔法星上的粉色大象没有紫色眼睛，则贝塔星上的野猪没有长鼻子。
III. 若贝塔星上的野猪有长鼻子，则阿尔法星上的粉色大象没有紫色眼睛。
(A) 仅I和III (C) 仅II和III (B) 仅IV
(D) 仅II (E) 仅III
解答:(E)。
我们写出该命题的逆否命题
“若阿尔法星上的粉色大象有紫色眼睛，则贝塔星上的野猪没有长鼻子”
如下:
“若贝塔星上的野猪有长鼻子，则阿尔法星上的粉色大象没有紫色眼睛”。
因此III是等价陈述。
习题
习题1. 下列论证是否有效？若前提为真且这些前提迫使结论为真，则论证有效。
所有苹果树都有绿叶
那株植物有绿叶。
那棵植物是一棵苹果树。
问题2. 设 \( T \) 为如下命题:
“若整数 \( n \) 的各位数字之和能被7整除，则 \( n \) 能被7整除”。
使 \( T \) 为假的一个 \( n \) 值是
(A) 70 (B) 77 (C) 133 (D) 34 (E) 266
问题3. 下列哪一项陈述为假？
(A) 所有正六边形(regular hexagon)彼此全等。
(B) 所有正六边形都是凸的。
(C) 所有正六边形都是等角的。
(D) 所有正六边形都是等边的。
(E) 所有正六边形彼此相似。
问题4. 若以下两条陈述为真，则下列哪条陈述必定为真？
(1) Alex有时去看冒险片。
(2) Betsy从不去看喜剧片。
I. Alex从不去看喜剧片。
II. Betsy有时去看冒险片。
III. Alex和Betsy从不一起去看喜剧电影。
(A) 仅I (B) 仅II (C) 仅III (D) I和III (E) II和III
问题5. 若命题“集合 \( X \) 中的某些整数是奇数”为真，则下列哪一项必然为真？
(A) 若一个整数是奇数，则它属于集合 \( X \) 。 (B) 若一个整数是偶数，则它属于集合 \( X \) 。
(C) 集合 \( X \) 中的所有整数都是奇数。 (D) 集合 \( X \) 中的所有整数都是偶数。
(E) 并非集合 \( X \) 中的所有整数都是偶数。
问题6. 若数学俱乐部的所有男生都擅长数学，则下列哪一项陈述必然为真？
(A) 数学不好的男生都不是数学俱乐部的成员。
(B) 所有数学好的男生都是数学俱乐部的成员。
(C) 所有非数学俱乐部成员的男生都不擅长数学。
(D) 数学俱乐部中每一个数学好的成员都是男生。
(E) 数学俱乐部里有一个男生不擅长数学。
问题7. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题:正方形是矩形。
问题8. 在希望高中，数学俱乐部的一些成员在科学队，而科学队中没有九年级学生。下列哪一项必然为真？
(A) 数学俱乐部中没有九年级学生。
(B) 数学俱乐部中有一些九年级学生。
(C) 数学俱乐部中有些成员不是九年级学生。
(D) 科学队中的九年级学生比数学俱乐部中的多。
(E) 数学俱乐部中的九年级学生比科学队中的多。
问题9。如果所有短吻鳄(alligator)都是凶猛生物(ferocious creature)，且某些爬行生物(creepy crawler)也是凶猛生物，那么下列哪些陈述必定为真？
I. 所有凶猛生物都是短吻鳄。
II. 某些凶猛生物是短吻鳄。
III. 某些短吻鳄是爬行生物。
IV. 某些凶猛生物是爬行生物。
(C) 仅III (D) 仅II和III
(E) 仅II和IV
问题10。有三个盒子A、B、C，其中两个盒子装有弹珠(marble)，一个盒子装有糖果(candy)。每个盒子上都有一张便条。
A:这个盒子装有弹珠。
B:这个盒子装有糖果。
C:盒子B装有弹珠。
以上陈述中只有一条为真，其余为假。哪个盒子装有糖果？
问题11。在Alex、Bob和Charles三人中，有一人偷了钱。以下陈述中只有一条为真，其余为假。谁偷了钱？I:Alex:我没干。
II:鲍勃:是丹尼干的。
III:查尔斯:是鲍勃干的。
IV:丹尼:鲍勃在撒谎。
问题12。在亚历克斯、鲍勃、查尔斯和丹四人中，有一人打破了窗户。以下陈述中只有一条是假的，其余为真。谁打破了窗户？
I:亚历克斯:不是我干的。
II:鲍勃:是丹干的。
III:查尔斯:是鲍勃干的。
IV:丹:不是我干的。
问题13。(1978 AMC)卡片上仅写有下面四条陈述:
这张卡片上恰好有一条陈述是假的。
这张卡片上恰好有两条陈述是假的。
这张卡片上恰好有三条陈述是假的。
这张卡片上恰好有四条陈述是假的。
(假设卡片上的每条陈述要么为真要么为假。)其中假陈述的条数恰好是
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
问题14。在亚历克斯、鲍勃和查尔斯三人中，有一人是记者。以下陈述中只有一条是真的，其余为假。谁是记者？
I:Alex:我是记者。
II:鲍勃:我不是记者。
III:查尔斯:亚历克斯是个骗子。
问题15.(2010 AMC 10 A)在一片神奇的沼泽里，生活着两种会说话的两栖动物:蟾蜍(toads)，它们说的话总是真的；青蛙(frogs)，它们说的话总是假的。有四只两栖动物——Brian、Chris、LeRoy 和 Mike——共同生活在这片沼泽里，它们发表了如下陈述。
布莱恩:“迈克和我属于不同的物种。”
Chris:“LeRoy是只青蛙。”
LeRoy:“Chris是只青蛙。”
Mike:“我们四人中，至少有两个是蟾蜍。”
这四种两栖动物中有多少只是青蛙？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
问题16。三个分别标为A、B、C的盒子中有一个装有球。每个盒子上都贴有一张纸条。这三张纸条上的陈述中恰好有一条为真。问球在哪个盒子里？
我:A:我没有球。
II:B:我没有球。
III:C:球不在盒子A中。
问题17。Alex、Bob 和 Charles 在一场数学竞赛中获得了三枚奖牌:一枚金牌、一枚银牌和一枚铜牌，顺序未知。以下三句话中恰好有一句为真。他们各自获得了哪枚奖牌？
我:A:我拿到了金牌。
II: B: 我没有获得金牌。
III: C: 我没有获得铜牌。
问题18. 亚历克斯、鲍勃、查尔斯和丹尼在网球锦标赛中获得了前四名。以下陈述中恰好有一条是假的。哪一条是假的？
I: 亚历克斯:我没有获得第四名。
II: 鲍勃:我既没有获得第一名，也没有获得第四名。
III: 查尔斯:我获得了第一名。
IV: 丹尼:我获得了第四名。
问题19.(1999 AMC 12)一个密封的信封里有一张卡片，上面写着一个数字。以下四条陈述中，三条为真，一条为假。I. 数字是1。II. 数字不是2。III. 数字是3。IV. 数字不是4。
以下哪一项必然正确？
(A) I为真。(B) I为假。(C) II为真。(D) III为真。(E) IV为假。
问题20. 五张卡片如图所示放在桌上。
每张卡片一面是字母，另一面是整数。简说:“如果某张卡片的一面是元音字母，那么另一面是偶数。”玛丽通过翻开一张卡片证明简错了。玛丽翻开了哪张卡片？
(A) 5。(B) 4。(C) 3。(D) 2。(E) 1。
问题21. 下面所示的每张卡片一面是数字，另一面是字母。需要翻开多少张卡片才能验证以下陈述的正确性:每张一面是元音字母的卡片，另一面都是质数。
(C) 5 (D) 4
(A) 7 (B) 6 (E) 3
问题22。若上述陈述为真，则下列哪一项陈述也必然为真？
“若一个数在列表 \( A \) 中，则它不在列表 \( B \) 中。”
(A) 若一个数不在列表 \( A \) 中，则它在列表 \( B \) 中。
(B) 若一个数不在列表 \( B \) 中，则它在列表 \( A \) 中。
(C) 若一个数在列表 \( B \) 中，则它不在列表 \( A \) 中。
(D) 若一个数在列表 \( B \) 中，则它在列表 \( A \) 中。
(E) 若一个数在列表 \( A \) 中，则它也在列表 \( B \) 中。
问题23。桌上有4张卡片，其可见面分别写有符号 \( a, b,4 \) 和5。为了验证以下陈述是否为真，我们最少需要翻开几张卡片:“若卡片的一面写有偶数，则另一面写有元音字母”？
解答:
问题1. 解答:
我们绘制欧拉图(Euler Diagram)。可见“那株植物”既可位于小圆内部，也可位于其外部，因此该论证无效。
问题2. 解答:(D)。
若存在某个整数 \( n \) ，其各位数字之和能被7整除，而 \( n \) 本身却不能被7整除，则该陈述为假。数字34即具备这些性质。
问题3. 解答:(A)。
边长分别为1,1,1,1,1,1和2,2,2,2,2,2的正六边形(regular hexagons)均为等边但彼此不全等，因此(A)为假。陈述(B)为真，因为所有正六边形都是凸的。陈述(C)与(E)为真，因为正六边形的每个内角均为 \( {120}^{ \circ } \) 。此外，正六边形的六条边长度相等，故(D)亦为真。
问题4. 解答:(C)。
“Alex有时去看冒险片”这句话并不一定意味着“Alex从不去看喜剧片”。因此I不一定正确。我们可以划掉(A)和(D)。
出于同样的原因，II也不一定正确。我们可以划掉(B)和(E)。
现在我们只需选择答案(C)，因为它是唯一剩下的选项；或者我们可以继续如下工作:
根据“Betsy从不去看喜剧片”这一陈述，我们可以确定Alex和Betsy绝不会一起去看喜剧片。因此III正确。
第5题。答案:(E)。
如果集合中的某些整数是奇数，那么这些奇数就是集合中不属于偶数的成员。因此集合中的整数并非全部为偶数。
第6题。答案:(A)。
“数学俱乐部里所有男生都擅长数学”这一陈述的逆否命题是:“如果一个男生数学不好，他就不是数学俱乐部的成员”。这等价于:(A) 数学不好的男生都不是数学俱乐部的成员。
第7题。答案:
命题:正方形是矩形(真)
逆命题:矩形是正方形(假)
否命题:不是正方形的图形就不是矩形(假)
逆否命题:不是矩形的图形 \( \mathrm{s} \) 不是正方形(真)第8题。答案:(C)。
数学俱乐部里有些成员不是九年级学生。
第9题。答案:(E)。
根据条件可推出，有些凶猛生物并非短吻鳄。因此I不一定为真。存在一些凶猛生物是短吻鳄，故II必为真。图示表明III为假。IV必为真，因为带有字母 \( x \) 的区域正是凶猛生物与爬行生物的交集。因此答案为(E)。
问题10。答案:盒子A。
首先找出互相矛盾的两句话。这两句话中必有一句为真，剩下的一句为假。
陈述B与陈述C互相矛盾。我们确定其中必有一句为真，但尚不知是哪一个。因此可推出陈述 \( \mathrm{A} \) 为假，于是盒子 \( \mathrm{A} \) 里装有糖果。
问题11。答案:Alex。
首先找出互相矛盾的两句话。这两句话中必有一句为真，剩下的一句为假。
陈述II与陈述IV互相矛盾。我们确定其中必有一句为真，但尚不知是哪一个。因此可推出陈述III为假，所以Alex偷了钱。
问题12。答案:Bob。
首先找出互相矛盾的两句话。这两句话中必有一句为假，其余陈述皆为真。
陈述II与陈述IV互相矛盾。我们确定其中必有一句为假，但尚不知是哪一个。因此可推出陈述III为真，所以Bob打破了窗户。
问题13。答案:(D)。
由于卡片上每对陈述都互相矛盾，故至多只有一句为真。若假设所有陈述皆为假，则推出第四句为真，矛盾。因此卡片上恰有一句为真。事实上，可验证第三句为真。
问题14。答案:Bob。
首先找出互相矛盾的两句话。这两句话中必有一句为真，剩下的一句为假。
陈述I与陈述III互相矛盾。我们确定其中必有一句为真，但尚不知是哪一个。因此可推出陈述II为假，所以Bob是记者。
问题15。答案:(D)。
LeRoy和Chris不可能都是青蛙，因为若如此，他们的陈述将为真，而青蛙说谎。他们也不可能都是蟾蜍，因为若如此，他们的陈述将为假，而蟾蜍说真话。因此LeRoy与Chris中恰有一人为蟾蜍。
如果Brian是蟾蜍，那么Mike必须是青蛙，但这与Mike的陈述为真相矛盾。因此Brian是青蛙，于是Brian的陈述必为假，而Mike也必须是青蛙。总共有3只青蛙:Brian、Mike，以及LeRoy或Chris中的任意一个。
问题16。解答:盒子A。
首先找出两条一致的陈述。由于只有一条陈述为真，这两条一致的陈述必定都为假。剩下的那条陈述为真。
陈述I与陈述III是一致的。我们确定这两条陈述都为假。于是可知球在盒子A中。
问题17。解答:
Alex:铜牌，Bob:金牌，Charles:银牌，
首先找出两条一致的陈述。由于只有一条陈述为真，这两条一致的陈述必定都为假。剩下的那条陈述为真。陈述I与陈述II是一致的。我们确定这两条陈述都为假。陈述III为真。因此B获得金牌，C获得银牌，A获得铜牌。
问题18。解答:陈述III为假。
首先找出两条一致的陈述。由于只有一条陈述为假，这两条一致的陈述必定都为真。
陈述I与陈述IV是一致的。我们确定这两条陈述都为真。因此Danny获得第四名。
现在我们假设陈述III为真，那么Charles获得第一名。于是陈述II为假，这意味着Bob获得第一名或第四名。然而这两个名次已被占据，因此陈述III为假。
问题19。解答:(C)
方法1(官方解答):
由于I和III不能同时为假，该数字必为1或3。因此I或III中必有一条为假陈述。于是II和IV必为真，(C)必然正确。同理，(E)必为假。若数字为1，则(B)和(D)为假；若数字为3，则(A)为假。
方法2(我们的解答):
首先找出两条相互矛盾的陈述。这两条中必有一条为假。其余陈述为真。
陈述I与陈述III相互矛盾。我们确信假陈述就在这两者之中，尽管尚不确定具体是哪一条。因此可断定陈述II与陈述IV必为真。唯一选项为(C)。
问题20. 解答:(C)。
我们先验证该命题:
如果一张卡片的任一侧是元音字母，那么另一侧就是偶数。
我们一张牌都没得翻。
我们随后验证该命题的逆否命题:
每张卡片若一面不是偶数，则另一面不是元音字母。
我们必须翻开所有带合数(仅卡片3)的牌，以确保其背面没有元音字母。
如果一个数字在列表 \( A \) 中，它就不在列表 \( B \) 中。
问题21. 解答:(C)。
我们先验证该命题:
每张一面是元音字母的卡片，另一面都是质数。我们必须翻开所有带元音的卡片(卡片A和E)，以确认其背面确实是质数。
我们随后验证该命题的逆否命题:
每一张卡片，若其中一面不是质数，则另一面不是元音字母。
我们必须翻开所有带合数(composite number)的卡片(即4、6、8号卡片)，以确保其背面没有元音字母。
问题22。答案:C。
我们只需写出该命题的逆否命题:若一个数在列表 \( B \) 中，则它不在列表 \( A \) 中。对应选项为(C)。问题23。解答:需要翻开两张牌(牌“4”和“ \( b \) ”)。我们先验证命题:
“若一张牌的一面写有偶数，则另一面写有元音字母”。
我们必须翻开所有写有偶数的牌(牌4)，以确认其另一面为元音字母。
接着验证该命题的逆否命题:
“若一张牌的一面未写元音字母，则另一面未写偶数”。
我们必须翻开所有未写元音字母的牌(牌 \( b \) )，以确认其另一面未写偶数。
因此我们需要翻开 \( 1 + 1 = 2 \) 张牌。
基础知识
以下列出一些应了解并掌握的常用公式，均可通过展开或因式分解推导。
1. 一些常用公式
完全平方三项式
\[ {\left( x + y\right) }^{2} = {x}^{2} + {2xy} + {y}^{2} \tag{1} \]
\[ {\left( x - y\right) }^{2} = {x}^{2} - {2xy} + {y}^{2} \tag{2} \]
平方差与平方和
\[ {x}^{2} + {y}^{2} = {\left( x + y\right) }^{2} - {2xy} \tag{3} \]
\[ {x}^{2} - {y}^{2} = \left( {x - y}\right) \left( {x + y}\right) \tag{4} \]
立方差与立方和
\[ {x}^{3} + {y}^{3} = \left( {x + y}\right) \left( {{x}^{2} - {xy} + {y}^{2}}\right) \tag{5} \]
\[ {x}^{3} - {y}^{3} = \left( {x - y}\right) \left( {{x}^{2} + {xy} + {y}^{2}}\right) \tag{6} \]
2. 分数
分数的除法
除以一个分数，只需乘以其倒数。
\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \tag{7} \]